.RU

Теория и методы анализа устойчивости и синтеза регуляторов нелинейных распределенных систем - страница 3




Определен вид поверхности ограничивающей область нелинейности, в зависимости от значений параметров, влияющих на ее форму. Для систем с распределенными параметрами, поверхность, ограничивающая область нелинейности сверху будет иметь вид, изображенный на рисунке 9 (а, б, в).











Рис. 9. Поверхность, ограничивающая область нелинейности.


При возрастании весового коэффициента гиперболическая поверхность выпрямляется, при представляет собой плоскость. При увеличении общего коэффициента усиления произойдет увеличение углового коэффициента для каждого из значений .

Разработан модифицированный критерий абсолютной устойчивости нелинейных распределенных систем управления, указанного класса. Приведена его формулировка и графическая интерпретация.

Пусть выполняются условия:

1) Все полюсы передаточной функции линейной части системы имеют отрицательные действительные части (т.е. линейная часть разомкнутой системы устойчива).

2) Характеристика нелинейного элемента должна принадлежать области ограниченной плоскостью и поверхностью

, то есть

, , при всех .

Если входное воздействие задано в виде изображения по Лапласу , то поверхность, ограничивающая область сверху будет иметь вид:, , , при всех , где .

3) Существует действительное число такое, что при всех выполняется неравенство

.

Тогда при любых ограниченных начальных отклонениях от нулевого значения функция остается ограниченной при и , при , т.е. система будет асимптотически устойчивой, так как из ограниченности следует, ограниченность , а из стремления к нулю следует, что при . Таким образом, можно дать следующую графическую интерпретацию модифицированного критерия Попова (рис.10):

Если передаточная функция разомкнутой системы не имеет полюсов, лежащих в правой полуплоскости, тогда для абсолютной устойчивости замкнутой системы достаточно, чтобы модифицированный пространственный годограф не пересекал поверхность, проходящую через линию и прямую .

Условия применимости модифицированного критерия Попова для распределенных систем управления:

1. Нелинейное звено представлено в виде последовательного соединения нелинейного элемента и линейной части.

2. Линейный блок системы может быть представлен бесконечной совокупностью независимых контуров.

3. Линейная часть системы является устойчивой.

4
. Нелинейная характеристика, зависящая от пространственных координат, может быть представлена в виде разложения в ряд Фурье.

Рис. 10. Графическая интерпретация анализа абсолютной устойчивости нелинейной распределенной системы.


Используя разработанную модификацию критерия абсолютной устойчивости нелинейных систем с распределенными параметрами, предложен метод анализа для практического использования.

1) Выбрать некоторое конечное число значений , .

, , … ,.

2) Построить график нелинейной характеристики и провести касательную к графику, проходящую через начало координат.

3) Определить угловой коэффициент касательной: : .

4) Из соотношения , при конкретных значениях , , значения угловых коэффициентов примут вид:

; ; … ; .

5) Подобрать коэффициенты и таким образом, что бы нелинейная характеристика попадала в сектор нелинейности для каждого значения , . Например, при , получаем , тогда . С учетом неравенств , выбирается наибольшее из значений , , т.е. , или .

6) Для каждого из значений , построить модифицированные годографы передаточной функции линейной части системы , и определяются точки на оси равные: .

Например, для значений:, , получим: , т.е.

, , …, .

7) Если для каждой точки , на оси найдется точка , такая, что прямая проведенная через эти точки не пересекает модифицированный годограф, то нелинейная система является абсолютно устойчивой.

Разработан метод синтеза регуляторов нелинейных распределенных систем исследуемого класса.

1) Частотные характеристики линейной части системы предполагаются известными. Устойчивость линейной части можно проверить, например, при помощи критерия Найквиста.

2) Построить модифицированный годограф линейной части для нескольких значений обобщенной координаты , т.е. для нескольких пространственных мод .().

.

, , … ,

.

3
) Определить предельные значения на оси , являющиеся крайними левыми точками пересечения модифицированного годографа с осью (рис. 11).

Рис. 11. Точки пересечения годографов с действительной осью.


4) Найти предельные значения угловых коэффициентов нелинейной характеристики для каждой из выбранных пространственных мод.

.

5) Найти угол определяющий сектор, которому должна принадлежать нелинейная характеристика, обеспечивающий абсолютную устойчивость системы.

,

при , получим:, откуда: ,, … .

.

Минимальное из значений обеспечивает построение поверхности, таким образом, что для каждой пространственной моды она не будет пересекать модифицированный годограф.

6) Определить вид нелинейной характеристики, исходя из постановки задачи.

7) Определить параметры нелинейного звена, от которых зависит требуемое значение полученной нелинейной характеристики.

^ В пятой главе приводится решение практических задач. На примерах нагревательных камер показана принципиальная возможность регулирования посредством дискретных управляющих воздействий.

Процесс вытяжки световодов осуществляется в специальной установке, которая состоит из: нагревательной камеры – 1; механической части, которая включает механизм подачи заготовки – 2 и систему вытяжки световода – 3; (рис. 1.а). Нагревательная камера (рис. 1.б) состоит из корпуса – 1, секционного нагревателя – 2 и трубы – 3. Сверху нагревательной камеры расположена плита – 4, которая имеет водяное охлаждение. Снизу и сверху камера закрыта крышками – 5, 6. Температура внутри камеры измеряется с помощью термопар – 7.

7 5 4

2

1

2


3


1 8


6


3


а) б)

Рис. 1. Установка вытяжки световодов (а). Нагревательная камера (б).

Ставится задача проектирования системы управления температурным полем нагревательной камеры. Ошибка стабилизации температурного поля при этом не должна превышать 1%. Диапазон рабочих температур – от 550 оС до 700 оС. Целью рассмотрения данной задачи является выявление тенденции изменения количества точек приложения управляющих воздействий. Методика определения требуемых размеров секций нагревателя может быть применена для систем с функциями Грина любого вида. Предположим, что температура поверхности трубы в любой момент времени становится равной температуре внутри камеры. Тогда граничные условия примут вид:

, , .

Секции нагревателя будем считать точечными источниками тепла вида дельта функций. При всех сделанных допущениях функция Грина рассматриваемого объекта может быть представлена следующим выражением:

,

, .

Температуру в точках установки датчиков можно определить по формуле:

,

В процессе моделирования функционирования системы показана тенденция к значительному уменьшению шага дискретизации управляющих воздействий, а, следовательно, к уменьшению размеров секций нагревателя, т.е. к значительному увеличению их количества.

Нагревательная камера для спекания световодов состоит из корпуса – 1 (рис. 2) и секционного нагревателя – 2. Информация о состоянии температурного поля снимается с датчиков – 3.


5

4 1


6

2


3


4


Рис. 2. Нагревательная камера для спекания световодов.


Концы камеры закрыты крышами – 4, которые оборудованы специальными выводами для подвода энергии к нагревателям и передачи информации от термопар. Кроме того, имеется специальная крышка – 5 для установки в камеру заготовки – 6. Стабилизируем температуру камеры в диапазоне посредством управления по времени включения секций нагревателя. Включение и отключение секций осуществляется при помощи релейных элементов. Релейное импульсное воздействие будем считать импульсом вида дельта-функции, с точкой приложения в середине секции. В качестве пространственных мод выберем функции . Функцию Грина запишем в виде:

.

Приведем результаты изменения температурного поля в процессе его стабилизации (таблица 1). В связи с симметричным расположением источников и датчиков вдоль камеры, в таблице представлены показания первых восьми датчиков. Начиная с момента времени ., выходная функция во всех точках переходит в установившийся режим колебаний. Наименьшее значение функции в каждой из точек при всех равно значениям при , максимальное значение функции в установившемся режиме равно значениям при . Кроме серединных точек (датчики с номерами 7 – 9), для которых минимальное значение при , максимальное – при .

Таблица 1.

Значения температуры в точках наблюдения

Номер датчика

Значение температуры в различные моменты времени (сек.)

100

1000

2000

2400

2500

2800

2900

1

0,1095

0,1854

0,0722

0,0495

0,1367

0,0461

0,1318

2

0,3151

0,5481

0,2136

0,1464

0,3512

0,1350

0,3361

3

0,5790

0,8871

0,3456

0,2369

0,4438

0,2147

0,4179

4

1,1577

1,1876

0,4625

0,3171

0,4476

0,2811

0,4102

5

2,3333

1,4364

0,5592

0,3834

0,4296

0,3319

0,3810

6

4,0586

1,6225

0,6314

0,4329

0,4249

0,3670

0,3667

7

5,7172

1,7377

0,6761

0,4635

0,4312

0,3873

0,3665

8

6,4153

1,7766

0,6912

0,4739

0,4353

0,3940

0,3683




3200

3300

3500

3600

4000

4100

4200

1

0,0413

0,1274

0,0467

0,1296

0,0657

0,0471

0,1298

2

0,1209

0,3231

0,1347

0,3289

0,1843

0,1360

0,3295

3

0,1918

0,3968

0,2086

0,4040

0,2705

0,2102

0,4047

4

0,2501

0,3819

0,2634

0,3878

0,3186

0,2648

0,3885

5

0,2942

0,3467

0,2991

0,3490

0,3363

0,2998

0,3495

6

0,3242

0,3278

0,3192

0,3258

0,3370

0,3191

0,3260

7

0,3413

0,3247

0,3286

0,3194

0,3326

0,3279

0,3193

8

0,3468

0,3256

0,3312

0,3189

0,3304

0,3303

0,3187


Значения температуры полностью попадают в заданный диапазон при значениях координат от до . Приемлемая стабилизация температурного поля будет осуществлена при длине заготовки . Для заготовки длиной необходимо увеличить длину нагревателя. Для стабилизации температурного поля камеры спекания световодов, размер секций нагревателя выбран в соответствии с разработанным методом оценки требуемого размера шага дискретизации распределенного управляющего воздействия, исходя из заданной амплитуды колебаний функции выхода. Приведены результаты изменения температурного поля в процессе его стабилизации.



























Рис. 3. Фазовые траектории в точке наблюдения.


Целью рассмотрения этих моделей в настоящей главе является проверка адекватности разработанных методов определения шага дискретизации равномерно распределенных управляющих воздействий, а так же проверка принципа регулирования с использованием релейных элементов. Разработанный метод является предпочтительным для задач, решение которых предполагает определенные допуски на точность регулирования.

Построен пространственный фазовый портрет нелинейной распределенной системы, иллюстрирующий процесс регулирования при шаге дискретизации, выбранном согласно разработанному методу (рис. 3., рис. 4).











Рис. 4. Пространственный фазовый портрет нелинейной распределенной системы.

В качестве примера исследования устойчивости рассмотрена система стабилизации температурного поля на отрезке пластины. В результате показано, что увеличение шага дискретизации, начиная с некоторого значения, приводит к тому, что устойчивая система становится неустойчивой. Установлена зависимость устойчивости нелинейной распределенной системы от величины шага дискретизации управляющих воздействий.

Показана процедура синтеза нелинейного распределенного регулятора прямого действия для системы утилизации тепла при контактной сварке. В целях утилизации тепла предполагается закрыть зону сварки специальным кожухом. Математическая модель тепловых полей внутри кожуха может быть описана следующими уравнениями:

, ,

где – температурное поле воздуха внутри кожуха,

– коэффициент температуропроводности воздуха,

– дельта функция, указывающая координаты i-го источника тепла, – функция, отражающая мощность i-го источника тепла. При описании граничных условий сделаем следующие допущения:

- боковая поверхность кожуха покрыта теплоизоляционным слоем;

- температура воздуха во входных отверстиях (i=1,…,6) остается постоянной. Учитывая сделанные выше допущения, граничные и начальные условия записывается в виде следующих соотношений:

.

, , .

Следует отметить, что рассматриваемая математическая модель не учитывает движение воздушных потоков внутри кожуха, а так же передачу тепловой энергии посредством излучения.

Регулирование температурного поля внутри кожуха осуществляется посредством регулятора прямого действия реализованного в виде биметаллической пластинки (Б.П.). В качестве входного воздействия служит температурное поле потока, воздействующего на регулятор прямого действия. В качестве функции выхода регулятора будет перемещение свободного конца биметаллической пластинки . Структурная схема рассматриваемой системы приведена на рисунке 12.





Рис. 12. Структурная схема системы.

Передаточная функция линейной части системы для каждой пространственной моды может быть записана в виде:

.

Где , , , ,

– оператор дифференцирования преобразования Лапласа.

– заданное значение.

Возьмем несколько значений обобщенной координаты , например, для .

, ,

, .

Построим модифицированные пространственные годографы для каждой из выбранных пространственных мод (рис. 13).




Рис.13. Модифицированный годограф линейной части при G = 1,2,3,10.


Найдем оценки минимальных значений точек пересечения годографа с действительной осью комплексной плоскости:

.

Из соотношения найдем предельные значения угловых коэффициентов нелинейной характеристики для каждой из выбранных пространственных мод: . Используя выражение углового коэффициента, как коэффициента усиления пространственно усилительного звена , найдем значение общего коэффициента усиления для каждого из найденных значений . Значение весового коэффициента примем . Тогда , откуда . В результате, получим:

; ; ; .

Чтобы поверхность, ограничивающая сектор нелинейной характеристики, не пересекала пространственный годограф необходимо из всех значений найденных коэффициентов выбрать наименьший.

.

Для рассматриваемого примера статическая нелинейная характеристика будет иметь вид, показанный на рисунке 14.


Р
ис. 14. Нелинейная характеристика.


Используя полученное значение углового коэффициента нелинейной характеристики, можно определить параметры регулятора. Например, при заданном значении температуры и заданном значении зоны нечувствительности , можно определить значение максимального перемещения свободного конца биметаллической пластинки.

, .

Построение прямых, соответствующих выбранному угловому коэффициенту нелинейной характеристики, для различных номеров пространственных мод показано на рисунке 15.

Таким образом, в зависимости от требуемого значения температуры, зоны нечувствительности, максимального перемещения свободного конца биметаллической пластинки и углового коэффициента нелинейной характеристики, могут быть подобраны параметры биметаллической пластинки.



Рис. 15. Демонстрация устойчивости системы.


^ ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ


Проведено исследование класса нелинейных систем с распределенными параметрами. Выбран класс задач, связанный с проблемой управления нестационарными температурными полями. Использование теории рядов Фурье позволяет выделить класс распределенных объектов, математические модели которых допускают разложение по собственным вектор-функциям. В этом случае, передаточная функция линейной части распределенного объекта может быть представлена совокупностью передаточных функций по пространственным модам. Что позволяет говорить о структурном представлении линейной части распределенного объекта. На основе теории импульсных переходных функций разработаны методы исследования и методы параметрической оптимизации дискретных распределенных систем. Рассмотрены системы, в которых возможно выделение линейной части, как отдельного звена. Разработаны методы исследования абсолютной устойчивости и синтеза регуляторов нелинейных систем с распределенными параметрами. Указанные методы получены на основе частотных методов и представления углового коэффициента прямой, ограничивающей сектор нелинейной характеристики в виде пространственно-усилительного звена. В процессе разработки указанных методов решены следующие задачи:

  1. Исследован процесс распределения температуры в результате действия одного мгновенного точечного источника.

  2. Введено понятие и получено выражение функции начального нагрева, для любой фиксированной точки наблюдения.

  3. Получена формула, характеризующая процесс формирования выходной функции для произвольной фиксированной точки отрезка, при произвольном количестве источников.

  4. Исследован процесс формирования функции начального нагрева под действием равномерно распределенных источников.

  5. Произведен расчет времени включения управляющих воздействий, в результате достижения функцией начального нагрева заданного значения.

  6. Получена формула для определения времени достижения максимального значения температуры в точке наблюдения при воздействии источника в произвольной точке отрезка.

  7. Приведен метод оценки погрешности регулирования в зависимости от шага дискретизации управляющих воздействий.

  8. Предложен метод оценки требуемого размера шага дискретизации распределенного управляющего воздействия, исходя из заданной амплитуды колебаний функции выхода.

  9. Исследован процесс формирование выходной функции при реализации релейного принципа управления.

  10. Проведено исследование фазовых траекторий распределенной системы.

  11. Разработанный метод оценки влияния параметров дискретизации на процесс регулирования обобщен на класс систем, для которых существует фундаментальное решение в виде функции Грина.

  12. Представлена математическая модель процессов вытяжки и спекания световодов. Осуществлено регулирование температурного поля по релейному принципу.

  13. При решении практических задач, показано, что точность регулирования зависит от шага дискретизации управляющих воздействий.

  14. Показана принципиальная возможность регулирования посредством дискретных управляющих воздействий.

  15. Построен пространственный фазовый портрет нелинейной распределенной системы, иллюстрирующий процесс регулирования при шаге дискретизации, выбранном на основе разработанного метода.

  16. Построены пространственные годографы типовых распределенных звеньев. Исследованы предельные характеристики параметров влияющих на вид и форму пространственных годографов.

  17. Дана интерпретация критерия абсолютной устойчивости нелинейных распределенных систем с нелинейной характеристикой независящей от пространственных координат объекта.

  18. Исследовано предельное положение прямой Попова, обеспечивающее абсолютную устойчивость нелинейных систем.

  19. Выявлены условия применимости критерия Попова для распределенных систем управления.

  20. Определена зависимость углового коэффициента прямой, ограничивающей сектор нелинейности от обобщенной координаты.

  21. Определен вид поверхности ограничивающей область нелинейности сверху, в зависимости от значений параметров, влияющих на ее форму.

  22. Разработан модифицированный критерий абсолютной устойчивости нелинейных распределенных систем управления, указанного класса. Приведена его формулировка и графическая интерпретация.

  23. Разработан метод анализа абсолютной устойчивости нелинейных распределенных систем управления, что позволяет исследовать динамические характеристики указанного класса систем.

  24. Установлена зависимость устойчивости нелинейной распределенной системы от величины шага дискретизации управляющих воздействий.

  25. Приведен пример исследования устойчивости процесса стабилизации температурного поля объекта с распределенными параметрами.

  26. Разработан метод синтеза регуляторов класса нелинейных распределенных систем управления.

  27. Приведен практический пример синтеза регулятора прямого действия для нелинейной распределенной системы.




tema-14-spros-i-predlozhenie-deneg-uchebno-metodicheskij-kompleks-specialnost-021100-yurisprudenciya-moskva-2005.html
tema-14-sudebnaya-vlast-rabochaya-programma-po-discipline-konstitucionnoe-pravo-rf.html
tema-14-tochnost-formi-detalej-sherohovatost-poverhnostej-programma-uchebnoj-disciplini-3-perechen-prakticheskih.html
tema-14-trudovoe-i-socialnoe-pravo-es-rabochaya-programma-uchebnoj-disciplini-evropejskoe-pravo-napravlenie-podgotovki.html
tema-14-usloviya-i-poryadok-kupli-prodazhi-zemelnih-uchastkov-uchebno-metodicheskij-kompleks-po-discipline-ekonomika.html
tema-14-vvodnoe-zanyatie-instruktazh-po-ohrane-truda-pri-vipolnenii-molyarnih-rabot.html
  • grade.bystrickaya.ru/nekotorie-priemi-raboti-predpolozhi-pri-pomoshi-rifmovok-i-stihov-mozhno-reshit-celij-kompleks-vazhnih-metodicheskih.html
  • shkola.bystrickaya.ru/mvvolkova-uchitel-russkogo-yazika-i-literaturi-vserossijskaya-nauchno-prakticheskaya-konferenciya-strategiya-gimnazicheskogo.html
  • assessments.bystrickaya.ru/birmanskaya-kampaniya.html
  • laboratornaya.bystrickaya.ru/programma-puteshestviya-1-den-vilet-v-bangkok-imeetsya-vozmozhnost-vileta-iz-minska-moskvi-rigi.html
  • literature.bystrickaya.ru/didakticheskie-vozmozhnosti-informacionnokommunikacionnih-tehnologij-v-processe-znakomstva-doshkolnikov-s-cvetom.html
  • zadachi.bystrickaya.ru/moskovskij-listok.html
  • knigi.bystrickaya.ru/sootnesenie-lichnostnih-rezultatov-i-universalnih-uchebnih-dejstvij-po-materialam-fgos-s-universalnimi-uchebnimi-dejstviyami-v-terminologii-obrazovatelnoj-sistemi-shkola-2100.html
  • urok.bystrickaya.ru/pred-sudom-slova-bozhiya-pred-sudom-slova-bozhiya-stranica-3.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/programma-razvitiya-strukturnogo-podrazdeleniya-mediatekibiblioteki-na-2010-2012-gg-gosudarstvennogo-obrazovatelnogo-uchrezhdeniya-gimnazii-1583-g-moskvi-moskva-2010-zadachi-biblioteki-i-mediateki.html
  • tasks.bystrickaya.ru/20072010-g-s-4-tema-stroitelstvo-stroitelen-kontrol.html
  • upbringing.bystrickaya.ru/lekciya-nobelevskogo-laureata-6-business-fm-novosti-19-29-20-20-30-sentyabrya-2011-g-novosti-09-16-10-19-16-19-3-oktyabrya-7.html
  • universitet.bystrickaya.ru/tema-1-zarubezhnij-i-otechestvennij-opit-socialnoj-raboti-teoriya-i-praktika-socialnoj-raboti.html
  • universitet.bystrickaya.ru/strana-kaliningrad-kaliningrad-20042011-gde-budushie-pensioneri-zarabotali-bolshe-vsego.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/politicheskaya-kultura-v-sovremennoj-rossii.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-disciplini-osnovi-raboti-v-sisteme-sap-r-3-napravlenie-podgotovki-080100-ekonomika.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/e-v-drozhzhina-gromiko-aleksej-anatolevich-stranica-5.html
  • lecture.bystrickaya.ru/bashlyar.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/byudzhetirovanie-v-sisteme-finansovogo-menedzhmenta.html
  • doklad.bystrickaya.ru/vlasti-moskvi-zapretyat-reklamu-na-peretyazhkah-obzor-novostej-reklamnogo-rinka-za-17-01-21-01.html
  • college.bystrickaya.ru/-naimenovanie-tem-uchebno-metodicheskij-kompleks-rabochaya-programma-dlya-studentov-ochnoj-i-zaochnoj-form-obucheniya.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/voprosi-geograficheskie-poznaniya-u-pervobitnih-narodov-geograficheskie-svedeniya-drevnih-kulturnih-narodov.html
  • vospitanie.bystrickaya.ru/zadanie-3-vibor-formi-poperechnogo-secheniya-virabotki-i-materiala-krepi-4-raschet-ploshadi-poperechnogo-secheniya-5.html
  • upbringing.bystrickaya.ru/malij-teatr-stati-rechi-otkliki-zametki-vospominaniya.html
  • institute.bystrickaya.ru/faks-383-3307163-i-tema.html
  • literatura.bystrickaya.ru/rekomendacii-auditorskim-organizaciyam-individualnim-auditoram-auditoram-po-provedeniyu-audita-godovoj-buhgalterskoj-otchetnosti-organizacij-za-2004-god.html
  • laboratory.bystrickaya.ru/zashita-v-chrezvichajnih-situaciyah.html
  • knowledge.bystrickaya.ru/nobelevskaya-rech-teper-spustya-stolko-let-nikto-tolkom-ne-znaet-s-chego-nachalas-odna-iz-samih-iezuitskih-zatej.html
  • doklad.bystrickaya.ru/v-novokuznecke-proshel-tovarisheskij-match-po-florbolu-syuzhet-rossijskaya-blagotvoritelnost-v-zerkale-smi.html
  • znanie.bystrickaya.ru/8-spisok-ispolzovannoj-literaturi-str13.html
  • letter.bystrickaya.ru/napravlenie-podgotovki-14040062-elektroenergetika-i-elektrotehnika-uchrezhdenie-visshego.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/razrabotka-distancionnoj-diagnostiki-linejnoj-izolyacii-kontaktnoj-seti-zheleznodorozhnogo-transporta.html
  • student.bystrickaya.ru/-vi-n-max-ci-n-max-2-13-usloviya-i-faktori-kachestva-upravlencheskih-reshenij-kachestvo.html
  • tetrad.bystrickaya.ru/valentin-bazhanov-rossiya-kommentarij-k-dokladu-hansa-pozera-dokladi-mezhdunarodnogo-simpoziuma-znanie-i.html
  • zadachi.bystrickaya.ru/otchet-po-preddiplomnoj-praktike-v-turfirme-ooo-sfera.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/programma-obnovlenie-gumanitarnogo-obrazovaniya-v-rossii-a-v-leonova-o-n-chernisheva-stranica-9.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.